Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Laguerrovy polynomy, pojmenované po Edmondu Laguerrovi (1834 – 1886), je jeden z ortogonálních systémů polynomů. Využívají se například v kvantové mechanice pro popis vlnové funkce odpovídající stavům atomu vodíku.
Laguerrovy polynomy se obvykle definují jako soustava reálných polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu
![{\displaystyle (p,q)\mapsto \int \limits _{0}^{\infty }p(x)q(x)e^{-x}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dba8ea30cc8a586ac3c7e25d3a0f710d8946084)
přičemž n-tý Laguerrův polynom
je polynom stupně n[1]
Obecnějším způsobem jako soustavu polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu
![{\displaystyle (p,q)\mapsto \int \limits _{0}^{\infty }p(x)q(x)x^{a}e^{-x}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/173bd64c9dc6038a0d2e87629cfaacc398bbfc56)
s
získáme zobecněné či přidružené Laguerrovy polynomy
.
Další vztahy pro Laguerrovy polynomy
a
, které se někdy uvádějí jako definice, jsou
![{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x^{n}\mathrm {e} ^{-x}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd28788e0d43b53063aa70ef23945c7e09caaf2)
![{\displaystyle L_{n}^{(a)}(x)={\frac {x^{-a}\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x^{n+a}\mathrm {e} ^{-x}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7889573dce896187b3fb61d45e3434e1ec3bdf1)
Explicitně se dají definovat vztahy
![{\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23401df35653995f5cbfd41db037ec802d1798f6)
![{\displaystyle L_{n}^{(a)}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n+a \choose n-k}{\frac {x^{k}}{k!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f1406e4c3f19a801b9e5c129f0bf485f7300e45)
Někteří autoři[2]
definují Laguerrovy polynomy zvětšené faktorem
:
![{\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{(-1)}^{k}{\frac {n^{2}{(n-1)}^{2}\cdots {(k+1)}^{2}}{(n-k)!}}x^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c24f51d51a69a36a501817848e379ff9d1ae5d)
Laguerrovy polynomy
jsou kanonickými řešeními Laguerrovy diferenciální rovnice[2]
![{\displaystyle xy^{\prime \prime }+(1-x)y^{\prime }+ny=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8290d389ce09e6fddf155a5a3e7c4ca4eaf1d3)
Libovolné polynomiální řešení této rovnice je součtem Laguerrových polynomů.
Prvních šest Laguerrových polynomů
Následuje tabulka prvních několika Laguerrových polynomů:
n
|
|
0
|
|
1
|
|
2
|
|
3
|
|
4
|
|
5
|
|
6
|
|
- ↑ SZEGÖ, Gábor. Orthogonal polynomials. [s.l.]: AMS Bookstore, 1939. 432 s. ISBN 0-8218-1023-5. Kapitola 5, s. 100. (anglicky)
- ↑ a b REKTORYS, Karel. Přehled užité matematiky. Praha: SNTL, 1981. S. 607.